Los matemáticos resucitan el decimotercer problema de Hilbert

La pregunta de David Hilbert sobre los polinomios de séptimo grado, que se consideró resuelta durante mucho tiempo, abrió una nueva red de conexiones matemáticas para los investigadores

El éxito en matemáticas es raro. Pregúntale a Benson Farb.

“El problema con las matemáticas es que el 90% de las veces fallas y tienes que ser la persona que lo acepte”, dijo Farb una vez durante una cena con amigos. Cuando uno de los invitados, también matemático, se sorprendió de que Farb tuviera éxito hasta el 10% de las veces, Farb admitió: "No, no, exageré mucho mi tasa de éxito".

Farb, topólogo de la Universidad de Chicago, está feliz de enfrentar su último revés, aunque, para ser justos, no es del todo su mérito. La pregunta está relacionada con un problema, paradójicamente resuelto y no resuelto al mismo tiempo, abierto y cerrado. El problema es el 13 de 23 problemas matemáticos que no se resolvieron a principios del siglo XX. Luego, el matemático alemán David Hilbert compiló esta lista, que, en su opinión, determinó el futuro de las matemáticas. El problema está relacionado con la resolución de ecuaciones polinómicas de séptimo grado. Un polinomio es una secuencia de términos de una ecuación, cada uno de los cuales consta de un coeficiente numérico y variables elevadas a una potencia; los términos están conectados entre sí por suma y resta. El séptimo grado significa el mayor exponente de todas las variables.

Los matemáticos ya han aprendido a resolver rápida y hábilmente ecuaciones de segundo, tercer y, en algunos casos, cuarto orden. Estas fórmulas, incluida la conocida fórmula cuadrática para el segundo grado, incluyen operaciones algebraicas, es decir, operaciones aritméticas y extracción de raíces. Pero cuanto mayor es el exponente, más confusa es la ecuación y se vuelve cada vez más difícil de resolver. El decimotercer problema de Hilbert es la cuestión de si es posible expresar la solución de una ecuación de séptimo orden en términos de un conjunto de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y funciones algebraicas a partir de dos variables como máximo.

Respuesta: probablemente no. Para Farb, sin embargo, esto no es solo una cuestión de resolver una ecuación algebraica compleja. Dijo que el problema 13 es uno de los problemas más fundamentales de las matemáticas, ya que plantea preguntas profundas: ¿qué tan complejos son los polinomios y cómo se pueden medir? "Se ha inventado toda una capa de matemáticas modernas para comprender mejor las raíces de los polinomios", dijo Farb.

Este problema lo llevó a él y al matemático Jesse Wolfson de la Universidad de California en Irvine por la madriguera del conejo matemático, cuyos movimientos todavía estudian. También trajo a Mark Kissin, un teórico de números de Harvard y un viejo amigo de Farb, a su excavación.

Farb admitió que aún no han resuelto el decimotercer problema de Hilbert, ni siquiera se han acercado a resolverlo. Sin embargo, desenterraron estrategias matemáticas casi extintas y exploraron los vínculos del problema con varios campos del conocimiento, incluido el análisis complejo, la topología, la teoría de números, la teoría de la representación y la geometría algebraica. Aplicaron sus propios enfoques, en particular, combinando polinomios con geometría y reduciendo el rango de posibles respuestas a la pregunta de Hilbert. Su trabajo también propone un método para clasificar polinomios por métricas de complejidad, un análogo de las clases de complejidad relacionadas con el problema no resuelto de la igualdad de las clases P y NP.

“De hecho, pudieron extraer una versión más interesante del interés” en comparación con los estudiados anteriormente, dijo Daniel Litt, matemático de la Universidad de Georgia. “Muestran a la comunidad matemática muchas preguntas naturales e interesantes”.

Abierto, cerrado y reabierto

Muchos matemáticos ya pensaban que el problema estaba resuelto. A finales de la década de 1950, el brillante científico soviético Vladimir Igorevich Arnold y su mentor Andrei Nikolaevich Kolmogorov publicaron sus pruebas. Para la mayoría de los matemáticos, el trabajo de Arnold-Kolmogorov cerró esta cuestión. Incluso en Wikipedia, no la verdad última, sino un corredor bastante inteligente en la búsqueda de conocimiento, hasta hace poco el problema estaba marcado como resuelto.

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